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%%  Ein DANTE-Edition Beispiel
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%%  Beispiel 01-02-1 auf Seite 9.
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\PassOptionsToClass{ngerman}{beamer}
\documentclass{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}




\begin{document}
\begin{frame}{Negatives Beispiel}
Wir setzen die \textbf{Theorie} der \textbf{Irrationalzahlen} als bekannt voraus.
\begin{enumerate}
 \item Das \textbf{Intervall} $\langle a,b\rangle$ besteht aus
 allen \textbf{Zahlen} $x$, die den Bedingungen $a\le x\le b$  genügen.
 \item Eine \textbf{Zahlenfolge} oder \textbf{Folge} entsteht, wenn man sich jedes
  Glied der unendlichen \textbf{Nummernreihe} $1,2,3,\ldots$ durch irgendeine (rationale
  oder irrationale) Zahl ersetzt denkt, also jedes $n$ durch eine Zahl $x_n$.
 \item $\lim x_n=g$ bedeutet, dass in jeder \textbf{Umgebung} von $g$ fast alle Glieder der
  Folge liegen.
 \item \textbf{Konvergenzkriterium}. Die Folge $x_1,x_2,x_3,\ldots$ ist dann und
 nur dann konvergent, wenn \textbf{jede} Teilfolge $x^\prime_1,x^\prime_2,
 x^\prime_3,\ldots$ die Relation $\lim(x_n-x^\prime_n)=0$
 erfüllt.
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}{Positives Beispiel}
Wir setzen die Theorie der \emph{Irrationalzahlen} als bekannt voraus.
\begin{enumerate}
 \item Das \emph{Intervall} $\langle a,b\rangle$ besteht aus
 allen \emph{Zahlen} $x$, die den Bedingungen $a\le x\le b$  genügen.
 \item Eine \emph{Zahlenfolge} oder \emph{Folge} entsteht, wenn man sich jedes
  Glied der unendlichen Nummernreihe $1,2,3,\ldots$ durch irgendeine (rationale
  oder irrationale) Zahl ersetzt denkt, also jedes $n$ durch eine Zahl $x_n$.
 \item $\lim x_n=g$ bedeutet, dass in jeder \emph{Umgebung} von $g$ fast alle Glieder der
  Folge liegen.
 \item Konvergenzkriterium. Die Folge $x_1,x_2,x_3,\ldots$ ist dann und
 nur dann konvergent, wenn \emph{jede} Teilfolge $x^\prime_1,x^\prime_2,
 x^\prime_3,\ldots$ die Relation $\lim(x_n-x^\prime_n)=0$
 erfüllt.
\end{enumerate}
\end{frame}
\end{document}
